Archive for the SIMETRI DAN GRUP Category

Sistem Koordinat dan Vektor

Posted in Aljabar Linier with tags , , , , , , , , , on Maret 17, 2014 by isepmalik

Pendahuluan

Aljabar linier merupakan representasi kuantitatif objek dan hubungan geometri. Tabel 5.1 mencantumkan hubungan paling penting antara geometri dan aljabar tersebut.

 

Sistem Koordinat

Sistem koordinat merupakan peralatan matematis untuk penamaan posisi di dalam ruang. Berdasarkan titik pandang geometri, suatu sistem koordinat merupakan kontruksi artifisial karena struktur objek ditetapkan dari hubungan antara bagian-bagian komponennya yang tidak tergantung dari rujukan eksternal. Meskipun demikian deskripsi objek geometri mengandung arti suatu sistem koordinat merupakan cara termudah menjelaskan struktur internal secara numerik dan hubungan antara posisi dan orientasi yang berbeda dari suatu objek di dalam ruang.

 

Tabel 5.1 Kamus Aljabar-Geometri

Aljabar

Geometri

Vektor

Titik di dalam ruang

Vektor standar

Jarak dari koordinat asal ke titik yang direpresentasikan oleh vektor

Produk dari dua vektor ternormalisasi

Kosinus dari sudut antara penggabungan garis asal ke titik yang direpresentasikan oleh dua vektor

Produk dari dua vektor = 0

Garis-garis yang menggabungkan titik ke asal yang tegak-lurus

Matriks

Transformasi linier yang mengubah posisi dan skala set titik

Perkalian vektor dengan matriks

Menentukan posisi akhir transformasi titik

Matriks determinan

Di bawah beberapa kondisi, suatu ukuran distorsi panjang dan sudut yang didahului transformasi

Matriks ortogonal

Transformasi yang menjaga panjang dan sudut konstan

 

Vektor

Dalam aljabar linier, suatu vektor ditetapkan sebagai bilangan berurutan. Suatu vektor dituliskan dalam bentuk baris: (x, y,z) atau dalam bentuk kolom: . Seringkali kita menggunakan huruf tebal (x) untuk menyatakan keseluruhan vektor: x = (x, y, z).

Interpretasi geometri suatu vektor sebagai posisi di dalam ruang memerlukan rujukan pada sistem koordinat. Titik apapun di dalam ruang tiga-dimensi berhubungan dengan tiga bilangan riil, titik koordinat x, y, dan z berdasarkan set aksis Kartesian. Sebaliknya, vektor apapun yang terdiri dari tiga bilangan riil khusus suatu titik di dalam ruang. Posisi did alam ruang berhubungan dengan vektor tertentu yang berubah jika sistem koordinat yang dipilih berbeda.

Perbedaan makna kata vektor yang digunakan dalam sains fisik merupakan kuantitas yang memiliki besaran dan arah. Dalam bahasa fisika klasik, istilah jari-jari vektor—suatu “vektor” dari asal ke titik—maknanya mendekati gagasan vektor yang dibahas di sini.

 

Soal 5-1. Visualisasikan atau konstruk grafik dalam dua dimensi dari interpretasi geometri 2-vektor (3,4) berdasarkan dua atau lebih sistem koordinat Kartesian. Sistem koordinat tersebut berbeda berdasarkan posisi asal dan arah aksisnya; namun demikian, aksis di dalam setiap kasus tegak-lurus satu sama lain. Gunakan skala yang sama. Manakah pernyataan berikut yang tidak tergantung sistem koordinat?

(a)    Titik di dalam ruang (yaitu, posisi relatif Anda terhadap dinding kamar) yang direpresentasikan vektor.

(b)   Arah (posisi relatif Anda terhadap dinding kamar) penggabungan garis asal pada titik representasi.

(c)    Jarak dari titik representasi ke asal.

(d)   Panjang proyeksi vektor bersama aksis-z.

Iklan

Grup Titik

Posted in Grup Simetri with tags , , , , , , , , , on Maret 15, 2014 by isepmalik

Pendahuluan

Dalam derajat tertentu grup titik merupakan grup simetri suatu objek seperti atom atau molekul. (Kisi tak-terbatas yang terjadi dalam teori padatan kristal memiliki simetri translasi sebagai tambahan). Kekhususan grup titik untuk molekul yang sesuai menetapkan kesempurnaan simetrinya.

Terdapat berbagai tipe simetri yang dapat diperlihatkan suatu molekul. Hanya operasi molekul asimetri seperti morfin yang merupakan identitas: grup simetri metana; molekul bersimetri tinggi ini mengandung empatbelas operasi.

Bab ini membahas berbagai simetri yang terobservasi dalam molekul. Pertama, menetapkan dan mengilustrasikan tipe operasi yang berbeda. Pertimbangan penggabungan yang sesuai dari unsur simetri menyebabkan terhimpunnya grup titik yang umum.

Aksis Rotasi: Cn

Suatu molekul memiliki aksis rotasi derajat n atau aksis rotasi n-kali jika rotasi ke-1/n sepenuhnya merupakan suatu operasi. Jika n = 2, rotasi adalah setengahnya atau 1800, sebagaimana dalam kasus aksis C2 molekul air. Simbol Cn menandakan aksis n-kali.

Aksis rotasi merupakan sebagian besar operasi simetri molekul. Aksis satu-kali merupakan rotasi penuh yang ekuivalen dengan identitas. Aksis rotasi dua-kali, (sebagaimana dalam contoh molekul air) kadang-kadang disebut dyad. Siklopropana memiliki aksis tiga-kali yang tegak-lurus terhadap bidang yang mengandung atom karbon; ia juga memiliki tiga aksis dua-kali. Dapatkah Anda memvisualisasikannya?

Apakah Grup?

Posted in Teori Grup with tags , , , , , , , , , , , , on Maret 15, 2014 by isepmalik

Grup terdiri dari set (operasi simetri, bilangan, dan sebagainya) bersama dengan aturan penggabungan dua elemen—umumnya disebut perkalian—yang mengikuti empat sifat:

  1. Tertutup: Dihasilkan dari penggabungan dua elemen—produk dari dua unsur—yang merupakan unsur lain di dalam set.
  2. Perkalian grup memenuhi hukum asosiatif: a ´ (b ´ c) = (a ´ b) ´ c untuk semua unsur grup a, b dan c.
  3. Terdapat unit elemen atau identitas (ditandai E) seperti E ´ a = a untuk elemen grup.
  4. Untuk setiap elemen a suatu grup, grup mengandung elemen lain yang disebut invers (a-1) seperti a ´ a-1 = E. Perhatikan bahwa E ´ E = E, invers E adalah E itu sendiri.

Soal 3-1. Verifikasi bahwa set operasi molekul air merupakan suatu grup dengan menetapkan produk dua operasi sebagai operasi campuran yang dihasilkan dari aplikasinya secara berurutan.

Soal 3-2. Untuk setiap kasus berikut: Apakah ia suatu grup? Jika tidak, manakah kondisi yang gagal? Jika set tertentu membentuk suatu grup di bawah operasi tertentu, nyatakan unsur identitasnya dan berikan rumus untuk elemen inversnya.

(a)    Semua integer—positif, negatif dan nol—di bawah perkalian.

(b)   Lima integer -2, -1, 0, 1, 2 di bawah penambahan.

(c)    Semua integer ganjil di bawah penambahan.

(d)   Semua integer ganjil di bawah perkalian.

(e)    Semua integer genap di bawah penambahan.

(f)     Semua integer genap di bawah perkalian.

(g)    Semua bilangan riil di bawah perkalian.

(h)   Semua bilangan yang membentuk n1 + n2 di mana n1 dan n2 adalah integer (negatif, nol atau positif), di bawah perkalian.

(i)     Set semua rotasi di sekitar aksis tunggal; aturan penggabungan merupakan aplikasi berurutan.

Jembatan dari Geometri ke Aritmatika

Posted in Simetri with tags , , , , , , , , , , , on Maret 14, 2014 by isepmalik

Alasan krusial mengenai pentingnya teori grup dalam kimia bahwa teori tersebut menyediakan deskripsi kuantitatif mengenai sifat simetri atom, molekul, dan padatan. Namun demikian, menjadi tidak tepat ketika berpikir bahwa teori grup hanya merupakan—atau utamanya—suatu teori mengenai simetri geometri karena teori grup juga menjelaskan proses aritmatika sederhana. Sebenarnya sumber kekuatan teori grup ketika dihubungkan dengan fenomena yang tergantung pada simetri di mana penetapannya dari hubungan antara simetri dan jumlah. Ini merupakan suatu analogi untuk menyediakan representasi aritmatika operasi geometri yang menghasilkan kesimpulan geometri dari perhitungan numerik sederhana.rotasi dan simetri molekul air

Klasifikasi Operasi Simetri

Konsep fundamental dalam menganalisis simetri suatu objek (seperti kubus atau molekul air) adalah gagasan mengenai covering operation (operasi). Operasi merupakan transformasi geometri suatu objek yang menghasilkan tampilan tidak berubah. Misalnya, rotasi molekul air 1800; aksis yang membagi dua sudut H—O—H mempengaruhi pertukaran posisi dua hidrogen sehingga molekul terlihat sama sebelum dan sesudah rotasi, seperti diperlihatkan dalam Gambar 2.1.

Tes untuk mengenali operasi kadang-kadang tidak teramati ketika operasi dilakukan.

Banyak operasi seperti di atas untuk rotasi sederhana—mudah dan sangat membantu untuk mencobanya dengan model molekul. Selain itu, “refleksi cermin” dari distribusi materi di dalam molekul air dalam bidang yang dilewatkan melalui oksigen dan tegak-lurus molekul merupakan suatu operasi. Ini diperlihatkan dalam Gambar 2.2.

Kesempurnaan operasi suatu objek merupakan ketepatan deskripsi simetrinya.

Teori Grup dan Kimia

Posted in Teori Grup & Kimia with tags , , , , , , , , , , , , , on Maret 14, 2014 by isepmalik

Pendahuluan

Teori grup merupakan cabang matematika yang menjelaskan sifat model abstrak dari fenomena yang tergantung pada simetri. Meskipun abstrak, teori grup menyediakan teknik praktis untuk memprediksi secara kuantitatif dan dapat memverifikasi perilaku atom, molekul dan padatan. Ketika gagasan dasarnya sudah jelas maka teknik tersebut mudah untuk diaplikasikan di mana hanya memerlukan perhitungan aritmatika sederhana.

Dalam pembahasan pendahuluan mengenai aplikasi teori grup untuk kimia ini, semua alat matematika yang digunakan berupa konsep dasar dan dikembangkan ketika diperlukan. Alat matematika tersebut hanya gagasan dasar geometri Euclid, trigonometri dan bilangan kompleks.

Aplikasi Teori Grup

Teori grup bermanfaat untuk kimia dalam beberapa hal. Pertama, ia menyajikan penjelasan kualitatif mengenai perilaku materi dengan sederhana. Misalnya, mengapa keadaan elektron di dalam atom dapat diklasifikasikan (dengan aproksimasi yang baik) oleh empat bilangan kuantum n, l, ml dan ms? Mengapa dalam keadaan dasarnya BeH2 merupakan molekul linier tetapi H2O bengkok? Mengapa transisi tertentu tidak muncul dalam spektrum absorpsi? Komputasi yang panjang dapat menyajikannya dengan tepat tetapi jawabannya tidak informatif untuk pertanyaan tersebut; teori grup dapat menyediakan penjelasan mengenai faktor untuk menentukan jawaban tersebut.

Pada level lebih tinggi, teori grup dapat membantu menuliskan kaidah bahasa yang kita gunakan untuk menjelaskan dunia fisik. Prinsip mekanika kuantum dapat dinyatakan dengan ringkas, jelas dan meyakinkan karena sifat fungsi gelombang dan operator linear dikarakterisasi dengan baik oleh matematika.

Pemahaman kualitatif ditambah teori formal menghasilkan alat prediksi. Pertanyaan berikut mensurvei topik yang dibahas: Bagaimana kita dapat menjelaskan, mengklasifikasi dan memprediksi:

  1. mode vibrasi molekul?
  2. kemungkinan bentuk fungsi gelombang yang mengkarakterisasi struktur elektron di dalam atom dan molekul?
  3. sifat spektroskopi atom dan molekul; yaitu pertukaran energi dengan radiasinya?