Sistem Koordinat dan Vektor


Pendahuluan

Aljabar linier merupakan representasi kuantitatif objek dan hubungan geometri. Tabel 5.1 mencantumkan hubungan paling penting antara geometri dan aljabar tersebut.

 

Sistem Koordinat

Sistem koordinat merupakan peralatan matematis untuk penamaan posisi di dalam ruang. Berdasarkan titik pandang geometri, suatu sistem koordinat merupakan kontruksi artifisial karena struktur objek ditetapkan dari hubungan antara bagian-bagian komponennya yang tidak tergantung dari rujukan eksternal. Meskipun demikian deskripsi objek geometri mengandung arti suatu sistem koordinat merupakan cara termudah menjelaskan struktur internal secara numerik dan hubungan antara posisi dan orientasi yang berbeda dari suatu objek di dalam ruang.

 

Tabel 5.1 Kamus Aljabar-Geometri

Aljabar

Geometri

Vektor

Titik di dalam ruang

Vektor standar

Jarak dari koordinat asal ke titik yang direpresentasikan oleh vektor

Produk dari dua vektor ternormalisasi

Kosinus dari sudut antara penggabungan garis asal ke titik yang direpresentasikan oleh dua vektor

Produk dari dua vektor = 0

Garis-garis yang menggabungkan titik ke asal yang tegak-lurus

Matriks

Transformasi linier yang mengubah posisi dan skala set titik

Perkalian vektor dengan matriks

Menentukan posisi akhir transformasi titik

Matriks determinan

Di bawah beberapa kondisi, suatu ukuran distorsi panjang dan sudut yang didahului transformasi

Matriks ortogonal

Transformasi yang menjaga panjang dan sudut konstan

 

Vektor

Dalam aljabar linier, suatu vektor ditetapkan sebagai bilangan berurutan. Suatu vektor dituliskan dalam bentuk baris: (x, y,z) atau dalam bentuk kolom: . Seringkali kita menggunakan huruf tebal (x) untuk menyatakan keseluruhan vektor: x = (x, y, z).

Interpretasi geometri suatu vektor sebagai posisi di dalam ruang memerlukan rujukan pada sistem koordinat. Titik apapun di dalam ruang tiga-dimensi berhubungan dengan tiga bilangan riil, titik koordinat x, y, dan z berdasarkan set aksis Kartesian. Sebaliknya, vektor apapun yang terdiri dari tiga bilangan riil khusus suatu titik di dalam ruang. Posisi did alam ruang berhubungan dengan vektor tertentu yang berubah jika sistem koordinat yang dipilih berbeda.

Perbedaan makna kata vektor yang digunakan dalam sains fisik merupakan kuantitas yang memiliki besaran dan arah. Dalam bahasa fisika klasik, istilah jari-jari vektor—suatu “vektor” dari asal ke titik—maknanya mendekati gagasan vektor yang dibahas di sini.

 

Soal 5-1. Visualisasikan atau konstruk grafik dalam dua dimensi dari interpretasi geometri 2-vektor (3,4) berdasarkan dua atau lebih sistem koordinat Kartesian. Sistem koordinat tersebut berbeda berdasarkan posisi asal dan arah aksisnya; namun demikian, aksis di dalam setiap kasus tegak-lurus satu sama lain. Gunakan skala yang sama. Manakah pernyataan berikut yang tidak tergantung sistem koordinat?

(a)    Titik di dalam ruang (yaitu, posisi relatif Anda terhadap dinding kamar) yang direpresentasikan vektor.

(b)   Arah (posisi relatif Anda terhadap dinding kamar) penggabungan garis asal pada titik representasi.

(c)    Jarak dari titik representasi ke asal.

(d)   Panjang proyeksi vektor bersama aksis-z.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: